王尚志 （首都师范大学数学系教授）

顾 沛 （南开大学数学系教授）

刘 晓 玫 （首都师范大学数学系教授）

在当今社会，数学扮演着特别重要的角色，它在各个领域发展当中也发挥着越来越重要的作用，鉴于此我们说在数学课程当中，我们就要更多的来关注数学课程给社会和各个领域带来的变化，随之我们公民应该具备什么样的数学素养，数学课程应该设置什么样的内容，制定什么样的目标，才能够满足社会发展的需求，这是我们要探讨的问题。所以今天我们这个话题就是从数学的特点以及数学课程应该如何设置来体现这种特点，以及在学生发展当中如何来发挥它的作用。

我想说的第一件事就是数学是在不断地发展和不断地变化的。尤其是在上个世纪中期，由于计算机的发展和信息技术的发展，数学的发展速度非常的快。

怎么理解数学是一个科学？很多人过去把数学跟物理、化学并列叫做自然科学，区别于社会科学，但是最近不少年，已经有一些新的看法，就是数学不同于物理、化学、生物、天文这些自然科学，那么什么地方不同呢？所谓本质的不同，就是物理、化学、生物、天文都有具体的物质和物质运动形态作为它研究对象。如果问你数学的研究对象是哪种物质，是哪种物质的运动形态，你怎么回答呢？很难回答。所以数学的研究对象不是某种具体的物质，和某种具体的物质形态，我自己认为数学的研究对象是人脑的产物，是从众多的物质和物质形态里边抽象出来的人脑的产物。

恩格斯原来说过数学是研究现实中的数量关系和空间形式的科学，到1957年，前苏联的一批数学家把它修整为数学是研究数量关系和空间形式的科学。到美国制定的一个计划里对数学的看法又有了一定的改进，他们认为数学是研究秩序和模式的科学，我想所有这一切告诉我们一个很重要的事实，数学在发展，我们对数学的认识也在不断地发展和提高。我们作为一个老师，都是把自己对于数学的认识和理解告诉学生，科学是我们认识的一个角度，另外数学是理论这也是大家比较成熟的一个看法，数学是基础，是所有科学的基础，包括自然科学，包括社会科学。

数学是工具，这也是认识数学的一个角度。数学是语言，数学是采用一些符号和一些自己给出的定义，以及自己的一些规范的表述形式展开，形成自己的这样一套语言。

数学的语言有它自身的特征。第一，数学自身的自然语言，就包括我们通常对于定义，对于公理，对于某些结论的表述。第二，数学研究特殊对象形成的图形，第三，数学还有一套自成体系的符号语言。

数学是科学，数学是理论，数学是基础，数学是工具，数学是语言。上个世纪发展的过程中，又出现了对数学的一些新的认识，数学是技术，数学是文化，数学是伙伴等等。

那么另一件事作为课程标准的研制者们，也在不断的体会了解、学习数学的变化，并且把这样的变化通过课程的方式体现出来。比如说我们增加了统计和概率的内容，我想就是因为社会发展的需求决定了这样的一种变化。因为现在我们在日常生活中离不开数据，通过这些信息来帮助我们应对这个世界，那么这样一种需求，就使得我们孩子应该具备这样一种处理数据的能力，所以我们统计课程最本质的东西，就是学会能从数据中提炼出来对我们有用的信息。

数学是一种文化。应该说数学文化出现的时间并不是很长，但这个已经被更多的人所接受，更多的人愿意从文化这个角度来看数学。

这个说起来可以有狭义和广义两种解释，一种狭义的解释主要是说文化知识数学的思想精髓，语言啊，它的方法以及它的产生和发展，更广义的解释除了这个以外还包括数学家，数学史，数学美，数学教育，数学其他文化这些关系等等。

数学作为一门科学，作为一个理论，作为一种基础性的工具，包括语言、文化，从诸多个方面我们谈了数学的内涵、作用和地位。

经过十年的课程改革的实验，其实过程是目标我想已经被很多老师所熟悉，当然在课程的实施过程当中，老师们也在尽力去做，但是对于过程是目标更深刻的理解，我们还有必要进一步和老师们做一个交流。我们的应试教育让教师和学生都把主要精力放在学会解题上，因为考试是考题，你学会了解题就能得高分，但是其实这是有负面效应的，或者说是有不当的地方。温总理这几年多次谈到教育，说他一直信奉这样一句话：“教是为了不教。”那么跟这个句式相同的呢，还有一句话：“学是为了会学。”只把结果当目标，这样的老师或者这样的学生更多的会说：“学是为了学会。”这就是学会解题，再推更广一点，学会数学的定义，学会数学的定理，学会数学的公式，最后还是为了考试得分。但是现在我们讲“学是为了会学”，“学会”跟“会学”，这两个字颠倒了一下，意思完全不一样。学会仅仅关注结果，会学不但关注结果，学到的这些知识技能，同时还关注学习的过程，这就是我们今天说的过程也是目标。

咱们中国最好的数学家之一，华罗庚先生，经常提到的两句话，一句叫做“会把书读厚”，一个是“能把书读薄”。我觉得这些都是“会学”的具体体现，也是过程的体现。“读厚”就是把你学的每一个知识和以前的和其他学科的建立起联系，这是一个过程，“读薄”是要从你学到的东西，把本质的东西抓出来。学会和会学，就体现了两种不同的对于过程的认识。

即使我们现在一些老师在关注结果，也就是关注知识与技能，其实这个强调知识与技能的教学是应该知识技能是为载体去讲它的背景，让学生理解其中蕴含的数学思想。如果仅仅的是重过程，重结果轻过程，专门去说我就讲定义，就讲这个定理，就讲解题方法，就让学生记住这些解题方法，照猫画虎的去学会解题，这不是真正的双基教学，即使从关注结果来讲，关注双基来讲，这个也不是真正的，得到了数学教学，是把数学知识，数学方法，数学思想，数学思维都融为一体的这种教学，学生掌握这个双基的同时也提高数学素养。

我们现在课标从双基发展到四基，为什么又增加两条，其中有一个理由，就是双基只涉及到刚才我说三维目标第一维目标，没有涉及到过程与方法情感态度与价值观。而现在新增加这两基，就是基本的数学思想，基本的数学活动经验，就涉及到三维目标后边这两位，过程与方法，情感态度与价值观。

或者可以说成是落实三维目标的一个，反映数学特点的一个。这是一个进步，在某种意义上是一次比较大的变化。

数学学科的特点决定数学教学的特点，而这些特点都导致特别需要重视过程。比方说数学有抽象的过程，那我们在教学里面就要注意怎样让学生体会抽象是数学的武器，抽象是数学的特点，学生愿意去学会抽象，不论哪个概念，它是怎样从具体到一般的，怎样抽象出来的。再比如这个数学里边，学生活动有分析的过程，无论小组讨论也好，探求新教学也好，都有分析的过程，那么有的是这样分析的路径，有的这样分析路径，就有不同，是不是抓住事物的本质了也有不同，是不是全面了也有不同，那么像这些过程里边，我们在教学里边对学生就是一种素质教育，这也是体现过程就是目标。

另外数学还有一个重要的特点，就是逻辑推理的重要性，任何一个结论，都要用逻辑推理去证明，逻辑推理我觉得最重要的就是八个字：“步骤完整，理由充足”。这些数学的特点，要求我们数学课程教学里应该关注过程，过程也是目标。

刚才举的这两个例子，一个是抽象，一个是逻辑推理。实际上这些恰恰是数学学科特点，那么在数学学科这样特点它的背后，如果我们不经历过程，这些特点其实是显现不出来的，也就是说你抽象能力的获得，推理能力的获得都要经历过程才能够实现。

重要数学概念的产生，甚至经历了漫长的过程，比如说函数，在小学阶段，速度一定，时间的变化引起路程的变化，价格一定，数量的变化引起总价的变化，一次重要的抽象，正比例关系，再做抽象函数的概念和正比例函数，这样一个过程，一直到我们高中会出现抽象的函数，是一个很漫长的逐步在不同层面上认识的一个过程，所以刚才强调的在数学概念的学习，数学证明的学习，是怎么出来的，它也是一个过程产生出来的。如果我们只关注最后的结果，怎么证表述清楚我觉得还是不够的，证明是按照某种思想激励逐渐的产生一个证明，所以我觉得强调过程，在数学的学习中和教学中是非常重要的一件事情。

我们强调过程也是目标，但是我们在强调这个的同时，要避免一个误区。以为像数学思考、问题解决，情感态度，这些目标是过程目标，都可以单独的传授和单独的实现。这个是一个误区，因为这些是不能空洞传授的，我们讲到四个具体目标的时候，后边三个过程目标，它都是要以知识、技能为载体和基础来传授的，不能空洞的去传授。

比如说我们常常愿意说数形结合，你离开了函数，你离开了我们一些具体的数学内容，比如说数轴，比如说我们通常所说的方格纸，直角坐标系，你就不容易真正的把数形结合放在学生的脑子里，所以我想这些都是融在一起的东西，我觉得这一点可能是非常重要的。

这些过程目标，我们刚才数学思考、问题解决，情感态度，他们的得当的实现，一定会有利于知识技能这个目标更好的实现，但是不要以为这些仅仅是为了知识技能目标的更好实现，这个是两个方面，这些结果也是目标，这些过程本身也是目标，他们一定要在知识与技能这个载体和基础上去实现，但是他们不是仅仅为知识技能这个载体服务的，结果也是目标，教师在背课的时候，不仅要背那些知识点，不仅要背那些技能，同时也要背课，我们在这里边怎么样能够经历过程，来使学生数学思考问题解决，情感态度上有得到发展。

不要以为过程是为结果服务的，经历过程本身就是我们在整个课堂实施当中一个非常重要的目标。

它不仅仅是在知识和载体这个基础上实现，不仅是为这个讲好知识性，他自己也是目标。这次我们课标的修订与过去不同的是就在课标关于具体目标的第一个及其目标，知识与机能表述里边，出现了大量关于经历过程的描述，刘老师对这个比较熟悉，你给大家介绍一下。

我们课程目标在表述的时候从四个方面进行了具体的阐述，一个是知识技能，一个是数学思考，一个是问题解决，一个是情感态度，刚才我们一直谈到的知识技能和过程之间的关系，知识技能的学习也不仅仅是要关注结果，同时还要经历过程，这个从课程标准具体的表述上就能看到，知识技能之下几条表述里边有这样一种语言：第一，经历数与代数抽象运算与建模的过程，经历图形的抽象、分类、性质讨论，运动，位置确定等过程，在几何当中，图形几何当中一些具体的内容和要求，经历在实际问题中，收集和处理数据，利用数据分析问题获取信息的过程，大家能听出来这三句话实际上分别对应了三个不同的领域，在阐述知识技能的时候，都特别强调前面要经历过程，因此就把我们的结果性目标和过程性目标进行了有机的结合。

有两类词汇用来体现目标，一类是了解、理解，掌握、灵活运用，另一类就是经历、体验，探索，这样的一些过程性的用语，反映了在这一次课程改革中，包括这次课程标准修改过程中的一个最基本的指导思想。

在内容标准的表述当中，经历，这种描述过程性目标的动词，也频频出现，这也是这次课程改革能够把过程性目标落实的一个很重要的体现。如果仅仅在目标上有这样的表述，而在内容的要求上却没有了，那就是一个空洞的要求，但是现在不是这样，就是把后边具体要求和前面的目标紧密的联系起来。

经过最近几年新课程的推进，出现了大量的例子，我们也期待，也希望我们的老师能把这些例子梳理整理放在网上，大家一起来分享，丰富我们教育教学的资源。

刚才我们从数学学科的特点讨论，设定了相应的课程目标，数学思考、问题解决，我想这些都是依据学科特点，我们在考虑目标的时候做了这样一个维度的划分，而在这样的维度之下我们就发现，其实过程性这样一个目标，无论是在数学的科学发展过程当中，还是在我们数学学习当中都是非常重要的，对学生未来的发展，数学素养的形成也都是至关重要的。

第一，老师们能接受数学是目标这样一个理念，第二，我们去践行，在我们教学当中怎么样去实现过程性目标，可能老师们在教学当中还要去多思考，在设计当中如何能够体现这样一个目标。

情感态度价值观作为我们这次课程改革三个纬度目标当中的一个纬度，实际上在我们这次课程改革当中，是体现这个促进学生全面发展的这样一个很重要的一个纬度，那么如何结合数学学科的特点在数学课程当中，促进学生情感态度价值观这个纬度的目标实现，我想老师们在教学当中也做了很多有意义的尝试。因为它很重要，所以我们今天还是要用这样一个话题来谈一谈，怎么样结合数学学科的特点，来促进学生，情感态度价值观这个目标的实现。

首先情感态度的发展对于学生来讲是会终身受益的，我们这个课标具体目标包含知识、技能数学思考，问题解决情感态度，四个方面，但情感态度这个方面的课程目标，其实是最近这些年才提出来，最早是在1999年，基础教育课程改革方案才提出来。大家虽然已经认识到这个目标的重要性，可是这个目标它是有相对隐性的性质，它不像知识技能，具体的是哪个知识，哪个技能，从中显性，相对隐性的性质，所以这个课程目标，和其他课程目标相比，往往不是大家更熟悉，同时也不被所有的教师重视，所以更有必要来强调。

课程改革的一个重大的进步就是提出情感态度的目标，因为教育无论是出发点也好，是落脚点也好，应该都在育人上。对于育人的认识和激发，我们中央有很多文件说到，包括全面育人，德育为先，素质教育，重视人的可持续发展等等多个方面，而情感态度这个课程目标，就与这些方面是密切相关的。按照课标里的描述，我现在把它分成这样四个方面，一、引起好奇心和求知欲，二、克服困难和建立自信心，三、了解数学的价值，四、养成良好的习惯和科学态度。现在数学研究有这样的变化：在我们小的时候，常常有这样的说法，一支笔一张纸，就是数学家的特点。但是经过我们这么多年的变化，现在数学家的一个基本的工作状态，很多的要采用作为讨论班式，所以几乎现在我们所接触到的很多研究数学的人，每个星期都要参加不同的形式的讨论班，要会和别人交流。数学这样比较抽象的学科，在治学方式上也发生了变化。

此外，对于数学抽象的态度是如何的呢？数学的抽象是从具体到一般，而这样一种从具体到一般的抽象是数学的一个优势，一个特点，一个武器，数学之所以能够成为一门学科，首先就在于能够从大多数物质和物质形态当中抽象出一般性。但是现在我们抽象这两个字，往往成为贬义词，我觉得这对学生的情感态度是有负面影响的

义务教育阶段，教师应该把握住什么样的知识点，在什么样的程度上去灌输概念，让学生体会到抽象的好处？

老师首先能够认识到抽象是数学的一个特征，学生抽象思维能力的培养也是很重要，只是我们在教学当中，怎样把握好具体与抽象之间的这样一种关系。

学生有着浓厚的好奇心。学生他从小时候起，原本就对世界有浓厚的好奇，数学教学，应该把学生的这种好奇心转化成对数学的兴趣，转化成对数学知识和数学思想的探索兴趣，所以除了让学生了解数学的价值以外，还要让学生知道这种兴趣怎么样去转化，对数学知识和思想的探索兴趣。教师通过启发式教学、恰当的引题，让学生看到数学内在的本质，数学自身的魅力，这个能够激发学生对学习数学兴趣的好奇心，特别要用数学内在的这种的本质，如简洁、明确、强烈的规律性，如说对客观事物准确的刻画，去引发学生兴趣，而不是仅仅依靠学生在生活当中简单的数学应用来引起兴趣。

在教学当中，怎么样去实现这个话题的目标，我们课程标准里边有九个“如何”，大家也可以看看那九个“如何”。它是配合我们刚才讲了这个情感态度目标的四个方面，但是在教学当中，教师要以自身的表率作用，去感染和影响学生，教师他自己对数学有兴趣，才能感染到学生对数学有兴趣，教师对问题有锲而不舍的探索精神，才能感染到学生也有锲而不舍的探索精神，教师去鼓励独立思考，反思质疑，也会感染到学生养成独立思考反思质疑的习惯，教师尊重学生，也能感染到学生尊重他人，教师有强烈的责任心，也会感染到学生有强烈的责任心，这些都是教师以身作则的表现。

我们已经进行了总体目标的分析，在总体分析的时候，我们已经提到，这次课程改革的修订稿，我们说有一个目标里边最大的变化就是从双基到四基的一个变化。从原来的基础知识、基本技能，变化到现在的基础知识、基本技能，基本思想和基本活动经验。这样的变化，意义还是很深远，关于这个为什么要添加后面的两基，以及添加这两基对我们教学上有那些要求，这个问题还是特别重要。

双基发展到四基我自己觉得，可能有三个理由。

第一个是双基仅仅涉及到我们讲三维目标的第一维目标，另外两维目标都没有涉及到。

第二个理由是因为我们的教师片面的理解双基，就往往有那种实施当中以本为本，见物不见人，而教学当中，必须是以人为本，所以新增加这个教学思想和活动经验，就直接与人相关，最后也符合素质教育。

第三个原因，双基是培养创新型人才的一个基础，但是创新型人才不能仅仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养。解决老师提出的问题，解决书本上提出的问题，解决考试里提出的问题是重要的，但是更重要是能够自己有独立思考，自己能够发现问题，提出问题和解决问题。

数学的基本思想，数学课程固然教会学生需要的数学知识，但是绝不仅仅以教会这些数学知识为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程里边，去学习数学思想。数学思想是数学科发展的根本，是探索和研究数学的基础，也是数学课程教学的精髓。数学思想的内涵是十分丰富的，也有的学者把数学思想说成是把具体的数学知识、数学定理、数学公式、数学定义和解题方法统统都忘记，剩下的东西就是数学思想。

到底数学的基本思想有哪些呢？主要有下面的三个：一个是数学抽象的思想，一个是数学推理的思想，一个是数学建模的思想。

人类通过数学抽象从客观世界中，得到数学的概念和法则建立了数学学科，通过数学推理，进一步得到大量的结论，数学科学就得以发展，在通过数学模型把数学应用到客观世界中去，就产生了巨大的效益，反过来又促进了数学科学的发展。这个三点简单说就是抽象，推理、建模。

这是数学的基本思想，那么数学思想很多，在基本思想下一层还有很多数学思想。例如像数学抽象的思想，才能产生出来，分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的自然，有限与无限的思想，等等。在基本思想下面会派生出来，很多的思想。

例如数学推理的思想，还能派生像归纳的思想，演绎的思想，公理化的思想，转化划规的思想，理想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊一般的思想，等等。

例如像数学建模的思想，还能进一步派生出来，像简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想等等。

举例来说，像分类的思想和几何的思想，可以这么样的用数学抽象思想来派生出来。人们对客观世界进行观察的时候，从研究的需要，从某个角度去分析联想，派生出这些次要的非本质的因素，保留这些主要的本质的因素，用有效的做法就对事物按照某种本质去进行分类，那分类的结果就产生了集合。

怎么样去区分，基本的数学的思想，和一般的我们刚才说的一些，有两件事情是建议老师认真思考。希望老师首先应该清楚，哪些东西是数学发展所必须拥有的东西，因为他决定了数学这个学科的成长，这种东西一定是基本的和重要的。

抽象是构成数学学科的一个标志性的东西，我们前面说一类一类的解决问题，不满足于一个一个的解决问题，推理包括合情推理，演绎推理。当我们要构架一个科学体系的时候需要这些东西，而数学就在这样一种指导思想下解决实际问题，要把实际问题变成数学问题，用数学的方法加以解决，这形成了促进数学发展中最基本和最重要的东西。

第二个理由，也希望老师去体会，学数学和不学数学在哪些地方是有区别的。数学给了我们别的学科没有给的东西，这个东西可能才是反应数学基本思想的，这个独特的东西是什么？刚才我们所说的这三点思想都具有这样的特点，这恰恰是我们在日常教学中，应该去体会的东西。更重要的是，把我们的体会渗透在我们的日常教学中，逐步的帮助学生形成这样一种思想，建立好的思想靠说教是不行的，应该是渗透给学生的，去引导学生体会方方面面，可能才能实现这样一个基本的目标。而且这是一个长期的过程，不是一朝一夕就能解决。我刚才想补充一点，就是可能有的老师会问，抽象也好，推理也好，包括模型，是数学所特有的，比如说别的学科会不会也有这样的特点，或者说有同样的思想呢？我们说也不排除，但是这里边在数学体现的更加充分。比如说抽象，从物理当中也有抽象，化学中也有抽象，但数学的抽象就还是与众不同。包括其他两个特点，我们把它作为基本思想，我想也是体现这个学科自身与其他学科的不同。

三个思想之间的关系也是大家需要思考的一件事情，它们存在着深刻的本质联系，但是又有各自的特点，这样我们再理解就会更好的一点。

我们老师常常会更多的说到数学方法，像换元法等等，但是这个数学方法它是不同于数学思想的，因为它处在较低的层次上，这个数学思想，往往可以用这样几个形容词来描述：它是观念的，是全面的，是普遍的，是深刻的，是一般的，是内在的，是概括的。而数学方法呢，可以用这样几个形容词来描述，它是操作的，局部的，特殊的，表象的，具体的，程序的，技巧的。但是这两者是有关系的，数学思想是要通过数学方法去体现，数学方法又常常反应了数学思想。所以数学思想是数学教学的精髓核心，教师教学时候一定要注意努力去反应和体现数学思想，让学生去了解体会数学思想，提高他们的数学素养。

教学当中老师有的时候是有一点含糊的，在这个问题上会提出疑问，数学思想都包含哪些呢？数学方法是不是就是我们说的这个数学思想？希望老师们对这个问题。能够有进一步的认识。关于数学思想和方法，对它的这个认识理解，对于老师来讲也还需要一个过程，也还需要一个不断的去思考，所以也希望老师们在日后的教学当中，能够更多的思考：第一，在我的教学当中，如何去体现数学思想，如何通过我们的一些具体的方法，来折射出来他们背后的一些数学的思想，使得我们目标的实现，更有了着落。

从双基到四基的里面，还有一基，就是基本活动经验，那么基本活动经验，对于我们来讲，跟双基相比，还是陌生一些，可能把握起来也更困难一点。

在研制标准的过程中，我们经常问这样的问题，就是除了双基，在数学中，在数学学习中还有什么？是不是双基已经把我们数学里最要紧的东西都说完了，我们要问我们自己这些最根本的问题，那么于是我们就产生了，有一些数学的思想，是我们需要把它界定清楚，那么思想用我们传统中的思想，思想方法方法又有很多，那哪些是重要的，基本的，除了数学的基本思想，还有没有什么，也希望老师，我们一起来共同的思考这个问题。我想在数学中，不严格说，有一些东西是可以交的，是可以通过老师的言传身教，但是有一些东西。是必须学生做的，他要经历他要体会他要感悟，他要积累，才能变成他自己的东西，所以这些东西是什么呢？我们给这些东西，起了一个名字，就是“基本的数学活动的经验”。所以我觉得这件事情也是非常重要的，比如说探究，比如说提出问题，如果永远是别人给你探究的方法，探究的技巧，甚至探究的程式，如果你不亲自去探究一些问题，你永远感悟不到探究是什么滋味，你永远不会体会到探究可能会遇到什么样的问题。我们说过程是目标，过程这个目标落实在什么地方呢？要落实在经验的积累上，解决问题的经验和学习的经验。提出数学活动经验的积累，这样的一个说法，把我们过去有一些比较含糊的。不是说的很清楚东西，提供我们一个思路。当然我们不一定就能提供一些非常多的可具体操作的东西，但是通过我们不断的摸索积累，在这方面一定会积极的推动数学教育。现在一个重要的领域叫做综合与实践，在综合与实践我们到底要给学生留下什么东西呢？我们要给学生留的东西是不仅仅是一个一个知识的学习，一部分一部分知识的学习，而需要我们的学生会综合的利用我们所学过的知识，需要我们的学生会利用这些知识解决我们实践中的问题。那么一个重要的结果，就是要积累运用数学解决问题的经验。包括从哪找到问题，我们得到问题的判决，我们得到的问题跟数学有关还是没有关系？和数学没有关系？能不能用数学的东西去解决这些问题？有了问题，还要设计解决问题的策略，或者过程，或者程序，怎么解决？这是从事数学研究一个非常的事情，然后就是对于你的思想的执行和实施，在实施的过程可能就是要调整，不是做每一次建模都能很准确的解决问题，当发生误差就要调整的所用到的数学或者所用到的模型。最后得到结果，要跟别人分享讨论结果的价值和意义。整个这样一个过程对于一个学数学的人来说是非常重要的。不仅仅是解决其他学科的生活中问题这些是重要的，解决数学问题这些经验的积累也是重要的。过去我们仅仅停留在解决习题上面，别人告诉我了条件结论我去证明它，解决它。我们能不能发现一些问题，引起我们的思考，我想这对于学习是非常重要的，我想这和我们数学家研究数学，没有本质的差别，他们都是在研究的过程中，不断的积累，他们解决问题的经验。这些可能对于我们都是非常重要的。

活动经验的重要还体现在学生形成智慧。学生学会知识，需要有活动经验，学生形成智慧更加需要有活动经验。因为这种智慧只能意会不能言传。所以没有自己的实践就很难意会。另外我们前面讲到数学思想，数学思想也不是仅仅在数学推导里边形成和取得的，也是要在数学活动经验的积累上去形成。另外在数学活动的过程里边，也必然有对学生情感态度价值观的提升，所以这就达到了三维目标的定型，共同实现。

目标当中还有另外一个变化，就是从两个能力到四个能力的变化，即从分析问题和解决问题的能力，到发现问题和提出问题的能力。从原来的两个能力，到现在的四个能力的变化，也是非常重要的，也是标志性的一个变化。那么在这个变化的背后，实际上也隐含着我们对数学中的问题解决这样一类问题更深刻更全面的认识，因为在目标中有一个维度就是问题的解决。从目标当中两个能力到四个能力的变化，这背后还有哪些更重要的更本质的更内涵的理解呢？

课程目标的具体目标里包括知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。这里也出现问题解决这样一个词，问题解决与解决问题有什么不同呢？问题解决这个短语和解决问题这个短语，是不完全一样的：问题解决它可以从四个方面来表现出来，第一，它是一种教学方式；第二，它是展开课程内容的一种有效形式；第三，它是学生应该掌握的一种学习形式，应该具备的一种学习能力；第四，它是我们的课程目标。解决问题不仅包含解决问题，还包含从数学的角度去发现问题，提出问题，分析问题，和解决问题。所以问题解决里边就包含了解决问题，但是解决问题在问题解决里边，只是一个小点，还有发现问题，提出问题，分析问题，阐述到解决问。从数学的角度，去发现问题和解决问题。“从数学的角度”这个状语是很重要的，它要求一种数学的眼光，所以数学课程应该创设各种情境，让学生去观察，去思考，使他们面对各种现象时候，都有机会从数学的角度去发现问题和提出问题，这里说到这个问题绝不仅仅是数学习题，那类专门为复习和训练的问题，也绝不仅仅是，依靠记忆题型和使用一种程式照葫芦画瓢去解决的这种问题，不仅仅是这类问题，更多是展开数学课程的问题，和应用这个数学去解决的问题。这些问题，应该是新颖的，有较高的思维含量的，并且有一定的普遍性典型性和规律性。这里说到好几条，应该是展开数学课程的问题，应用数学去解决的问题，这些问题应该是新颖的，有较高的思维含量的，并且有一定的普遍性，典型性和规律性问题。

举一个课标里边的案例，例20，是关于扣子分类的问题，一大堆扣子放到桌面上，让小学生去对扣子进行分类，那么学生进行小组讨论，可以进行个人得独立思考，也可以进行合作交流，那么问题就是对桌上的这一堆扣子进行分类，那有的学生可能提出来从颜色上去分类，有的学生可能提出来从扣眼的数量去分类，有的学生可能提出来，从扣子的形状上去分类。这个就是发现问题，和提出问题的过程，老师只提出了这个扣子进行分类，但是它发现可以从颜色分类，可以从扣眼的个数来分类，也可以从扣子的形状来分类，他还发现有这样不同的分类，这就是发现。然后提出这个问题来大家可以交流，然后学生还有具体的实践活动，真正去分类，按照这个标准去分类，按照那个标准去分类，而且这种问题不仅是新颖的，而且还有较高的数学的思维含量，带有普遍性点击性，和规律性，第一学段教了学生分类的思想，集合的思想，实际上教会了知识，同时还教会了这样一些数学思想。而且可以在后边的学段进一步的发展，比如说，让学生先对扣子进行颜色的分类，然后再对扣子进行扣眼数量的分类，这样两次分类以后，得到一个分类的结果，然后再反过来，先对扣眼数量进行分类，然后再对这个颜色去进行分类，反过来又得到一结果，然后让他去比较这两个结果。他在这个实践过程里边，比较以后，发现是一样的。再换一个还有形状扣子的形状分类，这也可以让他先对这个标准分类，再对这个标准分类，反过来另外一个次序的标准的分类，结果发现也是一样的。就要思考了：这是不是具有普遍性，规律性？现在我们这扣子分类，他提出了三个标准，那不同标准的分类，交换次序以后，得到结果是一样的，这在数学上的体现就是运算有交换律。但是是不是所有的运算都有交换律呢，也不一定。那现在我们不光是说运算，现在我们就说这种活动本身，交换了这个次序，结果是一样的，那么当然还可以举很多，你比如说一个方形的一个数字表，随便先数一个横的一排一排的数，有纵的一列一列的数，那么你是先按横的一行一行的数，加起来得到一个一个数，再竖着加，还是先按列，一列一列的加起来，得到一个一个的数，然后再横着加，发现结果也是一样的，也就是说这个矩形的这个数表里边，你是先按行加，还是先按列加，这个改变次序结果还是一样的。那么并不是所有的运算，或者所有的操作都是可以交换的，这要学生要知道，有的运算是满足交换律的，有的是不满足交换律的。比如烧水，那一个壶里你先灌进去凉水，然后灌满了，拿到炉灶上去点火去烧，这样有些程序，那你这里又灌水，把灌满水的壶做到炉灶上去，有点火这些程序，这样子的程序就不可交换，你不能不灌水连空壶就放在上面去点火去烧，这是有是否有交换律这样的问题。这个问题到了高中就是典型的乘法定理，摆扣子，穿衣服，都是这种匹配问题，其实就是所有这些问题重要的问题，都是延续性很强的。

现在的问题解决，不仅仅是我们那种为了复习训练习题，也不仅仅是这种好记忆和套用程式，而更多是发现数学本质，这种带有思考性的问题。

上个世纪70年代，在美国开展了一次有关数学和数学教育的大讨论，很多数学家都参与到这个讨论，这个讨论题目就是，什么在数学中、在数学教育中是最重要的？它的英文就是：What is the key in the mathematics and mathematical education.是定义是最重要的？是定理是最重要的？是公理是最重要的？是应用是最重要的？等等，我们都可以问到底哪个是最重要的。最后大家得到的一个结论，由一个当时最有名的数学家之一哈尔摩斯，他说经过大家的讨论，看来我们共同的认识，是问题在数学中，问题在数学教育中是最重要的，就是The problem is the key.所以我想这件事情得到了，这个数学教育工作者，和数学工作者的一个认同。我们为什么要引入概念？它是为解决问题要引入的概念，我们怎么得到的定理？是在解决问题的过程中，进行归纳抽象概括证明，得到的结论。包括公理，为什么要引入公理？有很多我们说不清楚的东西，但是我们又必须用，所以要用一种公理的形式把它固定下来，成为我们共同的出发点，所以我们要重视问题的作用。这些问题不等同于我们的习题，我们要学会提问题，我们脑子里要有问题。所以从数学家的角度来说也是一样，他们脑子里总有很多的问题，促使他们激励他们，去不断的发明创造。所以问题是值得我们关注的东西，这或许也是我们提出不要满足于分析和解决问题，因为分析和解决问题，是部分别人给我们的问题，我们要帮助学生学会，发现和提出问题。

再从另外一个角度探讨发现问题，提出问题，分析问题，解决问题。

所谓发现问题，它是经过多方面多角度的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象当中，去找到数量或者空间方面的某些联系，或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并且把这些联系或者矛盾提炼出来。

所谓提出问题，是在已经发现问题的基础上，把找到的这些联系，或者矛盾用数学语言，数学符号集中，以问题的形态表述出来。

发现问题和提出问题是有关系的，但是又不同。

所谓分析问题和解决问题，是从已知到未知，那这里的已知个未知都是清楚的，因为问题一摆在这里，就是要分析问题，解决问题，问题里边的已知和未知都是清楚的，那需要利用已有的定理，概念，性质，公式，模型，采用恰当的思路和方法，去得到问题的答案。我们从数学学科的特点出发，对这次课程标准修订中的五个方面分析了一些目标方面的标志性的变化，然后我们进一步分析一些目标的设置与学生发展之间的关系。希望与老师们的交流能够成为老师们日后进行思考和探索的一个起点，后面的路还很长，也欢迎老师们以后和我们有更多的机会交流，谢谢！