时  间	13.05.14	地 点	六办	活动内容	研讨活动
参加对象	全体高年级数学教师
活动目的	1、教材分析五下《解决问题的策略》。
	2、学习“几何直观”的有关内容，为“几何直观”研讨活动作准备。
活动过程： 一、教材分析《解决问题的策略》。主讲：吴新民。 （一）、教材分析 1．编写意图 “形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”是《数学课程标准》确定的课程目标之一。苏教版数学教材从四年级(上册)起，每学期都编排一个“解决问题的策略”单元，就是为了更好地落实这一课程目标。解决问题的策略是在长期的数学教学中，通过大量解决问题的活动逐渐培养的，也是在各个领域数学内容的教学中逐步发展的。教材单独编排“解决问题的策略”这一单元，使得“提高解决问题的能力需要形成策略”这一观念的重要性得到更进一步的突显。 解决问题的策略可理解为解决问题时的计策与谋略。策略与方法既有联系也有区别，它们的关系类似于战略与战术的关系。相同的策略可能深化出不同的方法，而不同的方法往往应用了相同的策略，所以，策略是方法的灵魂，是对方法本质的认识，是运用方法的指导思想。掌握策略的人，善于创造和灵活使用方法。方法可以在传递中习得，教师可以告诉学生怎样做并示范给他们看。但策略却不能从外部直接输入，只能在方法的实施中感悟获得。 五年级下册《解决问题的策略》单元主要教学用“倒过来推想”的策略解决相关实际问题。“倒过来推想”是一种应用于特定问题情境下的解题策略。通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。教材选择了贴近生活、浅显易懂、内容丰富、形式多变的十几道数学实际问题，以例题、练习题、思考题等方式编排，引导学生明确“倒过来推想”策略的意义内涵、适用范围和应用特点等，进一步提升学生对策略价值的认识，增强策略意识。 2．内容特点 本单元共安排了2道例题、12道练习题(含练一练、思考题)，主要有以下特点： ①图文结合，利于思考。例题和大部分习题都配有插图，或介绍事件发展变化的经过，帮助学生整理信息；或唤起学生解决问题的经验，促进学生主动探索思路。 ②内容丰富，形式多变。问题素材包含数量的发展变化、方位的发展变化、时间的发展变化、动作的发展变化等，涉及数与代数、空间与图形等知识领域。以直观图方式、示意图方式、表格方式、纯文本方式、图文结合方式呈现问题，问题形式多变。 ③控制难度，有序深化。教材在总体控制问题难度的前提下体现了较多的变化与发展。分析例题与练习题，有的以一个对象为问题目标，也有的以多个对象为问题目标；有的经过一步变化的，也有的经过两步甚至三、四步变化的；有的明确已知变化结果，也有的间接提供变化结果；有的可以合并变化步骤，也有的需要拆分变化步骤。难度安排总体上符合学生的认知能力和思维发展水平，同时也给学生提出了具有挑战性的学习任务。 （二）、学情分析 1．生活经验。 “倒过来推想”作为一种思维策略，学生有较丰富的生活经验基础。在教学中，一方面要充分发掘、利用这些生活经验，拉近学习内容与学生的距离，另一方面要引导学生总结、分析生活经验，将其提升到数学规律和思维策略的高度。 2．知识基础。 本单元编排的各种例题、练习题，从数学知识和运算方法的角度分析，并没有增加新的知识内容。在教学中，指导学生正确理解事件发展变化的经过，将各种形式的变化用数学方法甚至数学运算形式表达出来，则是学生符号感发展的重要过程。用数学运算的形式表达发展变化的经过，用数学运算的方法解释“倒过来推想”的数学思考实质，是促进学生理解策略应用特点的核心。 3．策略水平。 以学习本单元内容之前，学生已经在四年级和五年级上学生学习了摘录条件、列表画图整理信息以及一一列举等多种解决问题的策略。“提高解决问题的能力需要掌握一定的策略”已逐步成为学生学习本单元的心理基础。综合运用多种策略，并在此基础上学习掌握新的策略，能进一步增强学生的策略意识。 4．活动能力。 五年级的学生已经积累了较丰富的数学学习经验。在本单元的教学中，要充分利用学生已有的各种数学活动的经验，组织学生自主理解各种方式呈现的数学实际问题、利用各种方式整理加工数学信息、在交流合作中分享借鉴思考成果、在实践与操作活动中获得更多的学习体验。同时，教师也要善于发现学生自主学习过程中表现出来的各方面的问题，并力求将其发展为课程资源，引导学生不断优化思维方式和解决问题的方法，进而形成较为稳定的思维策略。 （三）、单元教学目标 1．单元教学目标 ①使学生在解决实际问题的过程中学会用“倒过来推想”的策略寻求解决问题的思路，并能根据具体的问题确定合理的解题步骤，从而有效地解决问题。 ②使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。 ③使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。 2．对单元教学目标的认识与理解 ①策略促进思维,有效地解决问题。学生是在解决实际问题的过程中理解、感受策略，同时，策略的形成与发展也为解决实际问题服务。在认识、理解、掌握、应用策略的过程中，学生的综合、分析和简单推理能力得到进一步的发展，思维水平不断提升。 ②感受策略的灵活性与特殊性。“倒过来推想”的策略适用于解决特点的实际问题，准确把握此类问题的特征，有利于加深对策略内涵的理解。教学中引导学生归纳各种适合运用“倒过来推想”的策略解决的实际问题的特点是本单元教学的难点。 ③进一步增强策略意识。策略意识包括寻求策略的动机、选择策略的思考、应用策略的尝试、策略内涵的理解、策略价值的认同等。因此，在教学中，教师应致力于让学生形成以下的认识：“为了更好地解决实际问题，我们需要寻求适当的策略”、“学习和掌握各种策略，有利于解决不同类型的问题”、“新的策略如何应用于不同的实际问题”、“策略被广泛地应用于生活、学习和工作中”。 ④进一步积累经验，提高信心。在本单元的教学中，还应从以下几方面落实进一步发展学生情感态度价值观的目标：设置适当的问题难度，保护学生的信心；设计素材内容丰富、形式灵活多变的问题情境，激发学生的兴趣；适当的总结归纳，促进学生积累策略经验；组织学生乐于参与且高效的活动，鼓励学生自主学习。 3．单元教学重点和难点 ①本单元的教学重点是进一步增强策略意识。“策略”即计策与谋略，它是对解决现实问题所需方法和手段做出的方向性的假设，“策略意识”是指人对现实问题的复杂性有足够认识时，主动探寻解决“策略”的一种态度、一种思维模式，它是探寻、选择、使用甚至创造“策略”的动机出发点和思维出发点，“策略意识”的教育价值应高于“策略”本身的教育价值。所以，在教学苏教版各学期《解决问题的策略》单元时，我们的教学重点应放在培养学生“策略意识”方面，解决问题、学习策略应成为发展学生“策略意识”的途径和载体。同时，我们也应认识到，培养“策略意识”离不开有关“策略”的学习活动，只有在具体的认识和使用“策略”的过程中，学生的“策略意识”才能得到培养和强化。 ②本单元的教学难点是感受“倒过来推想”策略的特殊性与灵活性。一方面，“倒过来推想”应用于特定问题情境之中。一般地，如果已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。教学中，教师要组织引导学生在解决问题的过程中反思问题的结构类型，归纳适合运用“倒过来推想”策略解决的实际问题的特点，这种超越解决具体实际问题层面的归纳思维活动，是有一定的难度的。另一方面，运用“倒过来推想”策略解决的实际问题表现出多种变化，运用策略过程中演化出的方法也不尽相同，帮助学生适应这些变化，并进而激发学生的创新意识，鼓励学生发现更适合自己的方法，教师需要做更充分的教学预设，并根据教学实际情况进行调整。 （四）、教学策略 教师应根据教学目标和教材编写特点，在进行教学设计的时候关注以下四个教学策略，并力求在具体的教学实施过程中落实： 1.淡化解决问题，强化策略意识。例如第一课时要充分利用两道例题以及“练一练”之间的联系与区别，使学生明确地意识到，解决问题并非本节课的关键，而反思解决问题的思路、方法，提炼上升到对策略的认识和把握才是根本。第二课时要引导学生在问题情境的变化、难度的发展中进一步感受策略的价值。第三课时则进一步把策略的应用范围拓展到更广泛的知识领域以及生活应用中，强化对策略价值的认同。明确了策略及其应用方法之后，解决问题的具体过程尽量让学生自主进行。 2.鼓励学生创造，发展学生能力。三个课时的教学都要坚持鼓励学生自行画图、自行列表，综合运用多种策略，以培养学生的创新精神。在解决问题的同时，要重视发展学生的思维能力，要求学生通过合作交流，尝试用自己的语言表述事件发展变化的经过及其数学意义，并能清晰地说明运用“倒过来推想”策略的具体思路。教师要善于观察学生自主学习的状态与学习成果，利用学生的画图、列表、列式等，在分享与评价中肯定学生的成功尝试，共同探讨改进方向与措施。 3.调整表达方式，增强数学思考。第一课时中在教学例1时，示意图的画法可以由单行并排改为两行排列，这样有利于学生从纵横两个方向进行观察比较；列表整理信息时也可以增加了“变化经过”一栏，这样更体现了“倒推”策略的特殊性；教学例2时，对于教材中用还原生活情境的方式表述倒推步骤的实际意义，教师可让学生自行表达，更有效的教学设计是设计简明表达变化经过的图式，并把各种变化直接提升到数学运算高度，增强解决问题过程的数学思考性。 4.拓展认知视野，展示策略价值。第一课时作为单元起始课，要强化学生对策略价值的认同，教学内容可按从数学走向生活，从课堂走向社会的思路调整安排，体现策略的无处不在。介绍达尔文生物进化论的知识，让学生从小认识到，即使是最伟大的科学成果，也需要最普通的思维策略。第三课时作为单元教学的延续部分，进一步开拓学习范围，并实现知识领域的跨越。将思考题改造为一道开放性习题，可引导学生进一步注意到“倒过来推想”策略的应用关键是有序倒推。 二、学习《几何直观的几点思考”》   主讲：张文 关于几何直观的思考 [摘要] 随着数学课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。本文从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念的辨析，追溯几何直观的哲学基础，提倡“直观型”的课程设计，挖掘几何直观能力培养的教育价值。 [关键词] 几何直观；课程标准；哲学基础；教育价值 当前，数学教育界都在关注数学课程标准[1][2]的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。随着《普通高中数学课程标准》[2]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的一个关注问题；经过适当的发展，相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。 在此，笔者试图从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念辨析，追溯几何直观的哲学基础，挖掘几何直观能力培养的教育价值。现将自己的一些想法就正于各位同行专家． 1．我国对几何课程基本要求的演变 我国解放后首次制定(1952年)的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力”[3]。以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”。1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。《义务教育阶段国家数学课程标准》(征求意见稿，2000年)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。 2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[1]提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”[1]．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》[2]指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”[2] 从我国几何课程基本要求的演变来看，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，对几何教学的要求不尽相同，那么，什么是几何直观，它与直觉、空间观念、空间想像能力等名词之间有联系或者区别么？我们来进一步探讨。 2．几何直观概念的内涵及典型观点辨析 2.1 什么是直观 数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”[4]；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。 蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态[5]。 徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[6]。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。 他们从数学、哲学、心理学等角度给直观包括几何直观下了定义，但我们认为直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。 2.2 直观与直觉 直观与知觉在英文中都是单词Intuition，但二者并不是完全相同，直觉不等于直观。 从研究对象来看直觉的对象不一定是可视的对象，直观的对象一定是可视的。从过程来看，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质；在同一个层次不是直观而是直觉，直觉是有原因与结果的关联，是一个平面上的，属于同一个层次。从功能来看，直观是用来发现定理的，而直觉用来证明定理的。 2.3 直观与想象 传统的数学教学中,空间想像力“指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。麦吉(Megee,1979)认为，空间想像力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”，朱文芳认为“空间想像能力是完成空间认知任务的桥梁,空间思维能力起着决定性的核心作用”[7]。心理学家通常认为,想像(imagination)以表象为基本材料,但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。 我们认为，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。 所以，我们建议：普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力以及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”这样叙述应该更恰当和准确。 3．几何直观的哲学分析 3.1 直观主义 直观化，本来是数学基础中的直观主义流派，出于数学概念和方法的“可信性”考虑而提出的基本主张，其中心内容是“存在必须是被构造”。 可见数学中的直观主义就是哲学中的康德主义，主张数学的概念由人类理性构造而成。数学对象的构造就是人们先验地在直观中画出与概念相应的图形，所以构造数学对象需要非经验的直观。人们在这种纯粹直观中构造出一个具体的图形，这一图形能够代表所有与某概念相应的图形，这说明人们在纯直观中构造的图形具有与概念相同的普遍意义，因此在几何直观中构造出了具体的图形就是构造出了相应的概念与数学实体。 笛卡儿认为，直观是纯粹理性的，但作为理性的东西并不能完全摆脱或无视某些经验，可见这二者是矛盾的，直观的确定性与与非逻辑性相矛盾，直观不能保证普遍原理的确定性，直观具有发现真理功能，但不能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能。 3.2 几何直观的历史性 毕达哥拉斯时代,人们的数学直观里浸透了整数是万物本质的哲理；非欧几何产生以前,人类的数学直观里有着欧氏公理是先验不变的真理的观念；非标准分析又使一度失去了对无穷小的直观在更抽象的层次上恢复；而今计算机造成的外移动的超立体的图象,又对我们关于高维空间的抽象直观充实了具体感性。所以数学直观是历史概念，数学直观在每个历史时期,其抽象性和直观性都具有不同的内涵。 数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，几何直观带有经验、思想和感情因素。复数的引入，是因逻辑上的需要而直接引进的“理想元素”，被赋予某种实际意义后，以几何直观解释为中介，同现实世界建立了间接联系，从而提高了它的可信性。复数，在它被引入后的最初两个半世纪中一直“给人虚无缥缈的感觉”，直至维塞尔、高斯等人相继对它作出了几何解释与代数解释，把它与平面向量a+bi或数偶 对应，才“帮助人们直观地理解它的真实意义”，并取得了实际应用．所以，它不仅被数学理论所决定，并随着数学理论的发展而发展，而且它也避免不了当时人类整个文化情境对个人心理上的影响。直观是随着人类理性的进步而进步的。换言之,几何直观的建立和发展是一个历史过程。它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。 3.3 直观与形式的统一 数学作为一门精确科学，其研究活动必须以量和质、形式和内容的分离为前提，把前者从自然界的普遍联系中抽取出来，加以抽象，在不断形式化的过程中实现它的精确性，这个过程就是数学化，换言之，就是数学抽象发展与现实世界的紧密结合，它既可以描述具体问题的数学模型，也可以反映各种层次的数学概念或规律的更高层次抽象．数学抽象概念发展的“直观——形式——直观”模式，是一般科学概念发展的“具体——抽象——具体”模式的特殊表现形式，它深刻地反映了数学活动的基本矛盾，数学通过形式化而实现精确性，又因为形式化而减弱客观性，直观化具有原始的创造性，它的历史性决定不允许完全客观的有理化． 直观与形式之间矛盾的解决，只有在形式化和直观化的矛盾运动中才可能实现，正是二者之间的矛盾推动了数学的发展以及科学的发展。 从创造力来看，直观能引出数学的发明,直观能决定理论的形式和研究方向；从在数学证明上看,直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。 数学直观的世界与因果感觉的世界是对立的，数学思维不能完全形式化，数学思想是独立于语言的形式之外，但数学又必须通过形式来表达，使其严格化。因此，数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返朴归真，这正是数学发展的辩证过程。     4．几何直观的课程设计 课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有机地融合、依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程设计的主流之一。我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。 当然，我们也要注意不能用几何直观来代替证明、注意几何直观带来的认识上的片面性。例如，对指数函数 与直线 的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数 的图形都在直线 的上方，于是，便认为指数函数 的图形都在直线 的上方。教学中应避免这种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误判断。[2] 5．几何直观能力培养的教育价值 几何通常被喻为“心智的磨刀石”，几何在数学研究中起着其实、联络、理解、甚至提供方法的作用，而几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学家依赖直观来推动对数学的思考，数学教育家们依赖直观来加强对数学的理解。直观推动了数学和科学的发展。而数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。 首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。 其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。 借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。 最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。 几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，那么如何培养学生的几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。 三、研讨校式题竞赛： 1、时间安排：六月上旬。 2、准备过程： 5月14日～5月22日各班自主复习 5月23日～6月初综合练习