解决问题的策略——转化

教学内容：

苏教版修订本五年级下册第107-108页的例2

教学目标：

1.学习运用“化繁为简、数形结合”转化方法，分析问题、解决问题，提高有效解决问题的能力。

2.让学生经历运用化繁为简、数形转化这种解决问题策略，解

决一些特殊问题的过程，体验转化的优越性，感受转化的内在价值。

3. 使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握化繁为简、数形结合、归纳推理、反思提升等基本的数学思想。

4. 教学重点：

学会灵活运用”转化”的策路解决问题。

教学难点：

使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握化繁为简、数形结合、归纳推理、反思提升等基本的数学思想。  

【教学过程】  

 一、直接导入  

这节课我们进一步学习解决问题的策略——转化。  二、新授  

出示例2：计算 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 。  

师：上节课结束后，老师给大家留了一道题。观察一下，你有什么发现？  4个分数连加，每个加数的分子都是1，分母是有规律的，后面一个分数的分母是前面一个分数分母的2倍。   

师：课前我把同学们的作业收集起来，进行了简单的整理。我发现，同学们用转化的策略解决这个问题时，想到了好几个角度。有些同学还想到了2种方法。

1.呈现学生作业：通分  

几乎每个同学都想到了通分。和这位同学的解答差不多。 师：这样解答，成功实现转化解决问题了吗？  

生：我觉得成功了，通分是把异分母分数转化成同分母分数，而同分母分数加法是我们已经学过的知识。

2. 呈现学生作业：化小数

还有部分同学是这样解答的，这又是怎样实现转化的？

    生：是把异分母分数加法转化成我们已经能够解决的小数加法。）

3.再看这几位同学的方法。将1/2拆成1-1/2,1/2=1/2-1/4......又是怎样转化的？

4.最为特别的是这种方法：画图。 你们能看懂他画的图的意思吗？  

生：先画一个正方形，看作单位1，1/2 就是这个图形的一半，1/4 是一半的一半，以此类推，算式 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 就表示这涂色部分的总和。从图上可以发现，这个空白部分是 1/16 ，涂色部分就是1- 1/16 ，算式就可以转化成1- 1/16 = 15/16 。  

师：他把复杂的算式转化成了简单的1- 1/16 ， 能看懂其中的奥秘吗？  生：整个正方形是单位“1”，空白部分是 1/16 ，求涂色部分就要用1- 1 /16 。  

师：我还收集到几幅作品，观察一下，你有什么想说的吗？（实物投影如下）

生：就这道题来看，正方形图比线段图更形象一点，直观一点。  生：虽然正方形图和圆形图都比较形象，但正方形图画起来更方便。  师：大家说得很好，咱们平时画图也要不断优化自己的方法。    

师：刚才，在解决这个问题的时候，同学们想到了通分、画图来进行转化，你感觉哪一个对你的启发是最大的？

3. 如果按照算式中加数的特点，继续加上一个数，（课件演示添加1/32）， 你能用巧妙的方法算出结果吗？拿出学习单，完成第1题。   

和同桌互相指一指、说一说，你图中的“1”在哪儿，小空白是多少。 3. 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128

现在你能快速报出这道长算式的结果吗？这次你们把图画在了哪里？你找到小空白了吗？

师：在数里能看到对应的形，在形中能找到对应的数，这种方法叫数形结合。 4. 再来一道更复杂的，敢不敢挑战？  1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+......

师：省略号是什么意思？一直加下去，小空白就无限地接近0，算式的结果就无限的接近1。

师：看，从数到形的转化，就这样神奇地将复杂变得简单。（板书）数学家华罗庚爷爷也有切身体会，他还专门写了这样一首诗与后人共勉。（屏幕呈现）

生齐读：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万 事休。

三、变式。   

1. 师：让我们继续感受转化的魅力。

出示 1/3 +1/6+1/12+1/24+1/48，能快速知道它的结果吗？别忘了我们刚学的一招。拿出学习单，先画一画，再算一算，完成学习单第2题。  

师：完成的同桌互相指一指，说一说，空白是多少，原来的算式可以怎样转化？

师：来看电脑演示，看，正方形的 1/3来了，接着1/3 的一半1/6来了，然后1/12、 1/24、1/48都来了，这一次剩下的是1/48 ？还有什么？     

2.比较这两道题，共同的策略都是用单位“1”减小空白，只是小空白不相同。这里分数的和继续画下去会越来越接近1，这里呢？越来越接近2/3，同样的规律，如果是1/4开头的分数，会越来越接近2/4，1/5开头的分数呢？等等。  

看来，转化的关键并不是记忆某一步计算方法，而是要借助图形直观地实现从复杂连加计算到简单减法计算的转化。

四、综合练习

1. “练一练”第2题。 这种方法你真的学会了吗？ 指名读题。

师：要求铅笔的支数，就是把每层的支数合起来。每层的支数分别是... 6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15  生1：等差数列求和。听懂他的想法了吗？

生2：联系梯形的面积计算公式。=（6+15）×10÷2  

其实这是计算方法与梯形的面积计算公式相似，不是梯形面积公式的运用。 我们来看，如果有两个完全相同的铅笔架，把最底层的铅笔与最上层的铅笔合在一起为一组，那么每层就一样多了，乘上层数其实就是2个铅笔架的铅笔支数，所以这里还要除以2。这个思考过程跟梯形的面积计算是不是很相似呢？

课件出示：2个完全一样的梯形铅笔架拼成一个平行四边形铅笔架...... 师：现在你能把图和算式结合起来想一想，为什么可以这样转化吗？和同桌交流一下。

为了方便，我们可以参照梯形的面积公式来记忆求几个连续自然数和的方法。结合上面的计算想一想，下面10个连续自然数的和，怎样计算比较简便？

将数和形结合起来思考问题能够帮助我们快速解题。   

提问：几个连续自然数相加，转化成怎样的式子计算比较简便？  小结：几个连续自然数相加，可以想象成一个梯形，联系梯形面积的计算公式，进行转化。看来，借助图形能很快地帮我们找到转化的方法。  

老师这里还有一组数，你能想到更简便的方法吗？利用之前的学习经验，这9个连续自然数的平均数就是中间数。

比较前一题，为什么这题不能直接用平均数乘自然数个数。

看来转化的方法是多样的，遇到问题时，要先观察算式的特点，灵活运用转化策略。

2. 润数于形，寻常化神奇

师：同学们，关于连续自然数相加的规律，很早就有人研究了。古希腊数学家毕达哥拉斯喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，我们来看。

师：你能算出第 11 个三角形数中小石子的个数吗？ 生：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11。

师：如果我把第2层、第4层、第6层……的小石子去掉，这个算式有什么特点？（从1开始的连续奇数相加）

生：1+3+5+7+9+11。

师：想一想，还能不能用刚才的方法计算？ 学生借助图形，计算得到（1+11）×6÷2。

师：从 1 开始的连续奇数相加，和连续自然数相加还是有区别的，它是否还能转化成更简单的算式呢？我们请谁来帮忙？

生：图形。

师：图就在你们手中。请看要求：用 1 枚白子和3枚黑子摆出一个图形，表示“1+3”；边摆边思考：摆出的图形能否把1+3转化成其他算式？

展示学生作品： ① ②

师：观察一下，哪一种能带给你转化的灵感？

生：第②幅图，每行有2个，有2行，那么1+3就可以转化成2×2。 师：接下来请你先想一想，能不能用小棋子摆出表示 1+3+5的图；再动手摆一摆，边摆边思考1+3+5可以怎么转化。

……

师：同学们，和刚才比，同样运用转化的策略，哪一种更简便？

师：刚才我们研究的“从 1 开始连续几个奇数相加的和”，可以称为正方形数；而当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，这些数叫做正五边形数……我们把这些数称为“有形状的数”。这样一来，自然数就有了形象，借助图形，寻找它们之间的规律也就简单多了。

看来，只要有了转化的角度，大家往往能够豁然开朗。

五、总结

这节课我们研究了这样几组有规律的数的连加，也就是简单数列求和，你有哪些收获？其实，数学学习就是一个不断学会转化的过程，转化的学问还很多，在今后的学习中，只要逐步积累经验，提高自己解决问题的灵活性，你会变得越来越智慧。