缘起——老师，我怎么就错了呢？
“老师，我怎么就错了呢？”一位学生略带怯懦而又不甘的语气，指着自己练习卷上的一题问着我：
下图是一块梯形地的平面图，比例尺是1:20000，量出图上的上底是1厘米，下底是2厘米，高是3厘米。这块地的实际面积是多少平方米？
沿顺着琦的所指，卷面上的解法简洁而干脆：（1+2）×3÷2=4.5（平方厘米），4.5×20000=90000（平方厘米）=9（平方米）。
困局——这种解法也没错
显然，所得的结果与实际面积相差甚远，我批阅完全班的试卷，也正惊诧于此题错误之高，超乎我的想象，全班居然有14名同学的错误如出一辙，错误率达28%，我内心不禁暗暗问自己，学生不会根据求得的结果做出辨析，来判断正误吗？刚刚学习完《面积的变化》（苏教版六年级下册）一课，学生已经对面积的变化规律烂熟于胸：如果把一个图形按照n：1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1，或者说如果把一个图形的边扩大n倍，面积就扩大n2倍。
课上，我先呈现出了正确的解法：
1×20000=20000（厘米）=200（米）
2×20000=40000（厘米）=400（米）
3×20000=60000（厘米）=600（米）
（200+400）×600÷2=180000（平方米）
我希冀让正确的同学们的思路，来“指正”那批学生的“误解”，出奇地顺畅而自然，学生也说的头头是道，全班同学都认为这种解法合情合理，都欣然接受。我畅快地舒了一口气，暗自庆幸。但是当我相机抛出琦的解法时，教室里炸开了锅，同学们一致认为，琦的做法也符合基本思考方向，在方法上是大同小异的，这种解法没有错。
学生们抛出了 “最充分”的理由：一种方法是根据比例尺，把这三条边各扩大20000倍，先求出梯形地的上底、下底和高的实际长度，然后来求实际面积；琦的做法是先求出图上面积，然后把图上面积扩大20000倍，异曲同工呀，遗憾的是为什么结果怎么就不同了呢？僵局就此形成，矛盾的结果，一下把学生带入了思维的漩涡，无力自拔。
我不禁暗暗地责怪起自己来，说实话，此种类型的问题，在以前有多次接触和练习，大多是给出图上的长方形、正方形或圆形的平面图以及对应的比例尺，计算实际面积，相对比较简单，我做了反复强调和硬性规定，先要求出实际长度，再根据实际长度求实际面积，固定的解法，已成模式，学生求解也是得心应手。但是为什么要先求出实际长度，再求实际面积，此中理由，偶有涉及，因为学习《面积的变化》一课之后，我自以为是地认为学生应该能明了其中原委。
重构——基于学生思维的再认识
面对这样的“困局”，我只有寻求突围之径，于是乎，我重设了今天的教学路径，开始了与学生的“重新对话”，以期突破面临的思维“桎梏”。
一、基础铺垫
出示：
1、一个长方形长是3厘米，宽是2厘米，把它的长和宽扩大2倍，面积扩大（ ）倍。
2、把一个圆的半径扩大3倍，面积扩大（ ）倍。
学生都能顺利解答，快速而顺畅地得到结论：长方形的面积扩大4倍，圆的面积扩大9倍。
二、呼应提升
1、把一个边长是6厘米的正方形的边长扩大200倍，面积扩大多少倍？
学生依然能毫无梗阻地得出面积扩大40000倍。
2、一块三角形果园，按1：300的比画在图纸上，底是4厘米，高是3厘米。实际面积是图上面积的多少倍？
（这一题，省略掉了实际面积的探求，直接顺应着前面的问题，进行同类型问题的解决，学生明显有卡顿的现象。）
师：同学们，你们觉得结果该是多少呢？
生1：300倍。
生2：不对，应该是90000倍。
生3：我觉得应该先来算一算图上面积和实际面积，才能得到结果。
师：那我们不算能得到结果吗？
生4（抢着说）：不用算！
师（疑问的表情）：说说你的想法。
生4：这题，其实和前面的题目完全是同类型的，‘按1：300的比画在图纸上’，意思就是说实际长度是图上长度的300倍，不信，我可以换一种意思说：把一个底是4厘米，高是3厘米的三角形，扩大300倍，面积扩大多少倍？（投影相机出示题目）
（听着这位学生的分析，在座的同学眼睛中有原来略带迷茫的表情转而变为清澄，由此，阻塞的思维通道逐渐畅通。）
师：哪到底扩大多少倍呢？
生（齐）：90000倍。
师：为什么呢？相信大家已经在完全理解这题的意思后，与我们早前学习的规律对应起来了。不过，下面，我还是想听同学们通过计算验证下。
生：我先算出图上的面积，4×3÷2=6平方厘米；再计算实际的面积，先要把底和高扩大300倍，求出实际长度，（4×300）×（3×300）÷2=540000平方厘米，540000÷6=90000，确实是90000倍。
师：如果把一个图形的边扩大n倍，面积就扩大n2倍。我们再次进行了验证。
三、迁移拓展
师：那我们再回到那道梯形问题上来，大家还想说些什么？
生：求梯形地的实际面积，我们可以根据比例尺求出上底、下底和高的实际长度，再就实际面积。
师：哪大家想对琦同学的解法说些什么呢？
生：琦，你的方法不完善，按照我们的验证，根据面积的变化规律，求出了图上面积，应该把图上面积扩大200002倍才是梯形菜地的面积。所以你可以这样算：（1+2）×3÷2=4.5（平方厘米），4.5×20000×20000=1800000000（平方厘米）=180000（平方米）。
……
计算“这块梯形地的面积”，本是规律的顺承运用，但是，从平常基本的练习路径来看，较多的是涉及的“把一个基本图形的边长扩大n倍，面积扩大多少倍？”而且，n一般是在10以内的自然数，此种类型的题目，规律的简单套用，学生解决毫无阻梗，但当面对“一块三角形果园，按1：300的比画在图纸上，底是4厘米，高是3厘米。实际面积是图上面积的多少倍？”之例，学生接触不多，规律内化不够，甚至可以说是从未触及，有“琦”之问也在常理之中。“求出图上面积，再根据比例尺求出实际面积”，实际上是忽略的了规律自身的内核，本质上是对规律内在的联系不甚通晓，也可以说是思维纽带的断裂。
启示——重新演绎故事里的“事”
学生已然明白个中缘由，然，于我而言，内心却有一种“痛则不通”的挫败感，我期冀找寻到“通则不痛”的“秘制良方”。细细思忖之下，还是缺少教与学之间的一份应然通融，未能促成学生凌空而悬的思维真正“着陆”。
突破“我要的是葫芦”的狭隘短见。明明是学生在学习中会遇到的“盲点”，思考中遇阻的“断层”，教师在教学中却视而不见，为追求结果不关注细节，正是我们教师平常的教学活动中频繁发生的“案例”，以己度人，却忽略了学生是需要我们关照下拔节成长的“小精灵”。“先求出图上面积，再把图上面积扩大20000倍就可以求出梯形地的实际面积”，印证了病症所在。边线之变之于面积之变，虽有规律护航，但是，规律的形成，需要一个实实在在的“探理”过程，理已在，用却乱，归根结底，是理没能导思，未能促用。这也警示我们每一位数学教育工作者，在教学中，切勿想当然，求速成，切忌高跨越、短视域，更不宜用结果代替过程，而应该在充分的预设中，正视学生的困难，做到在预见中遇见，让学生经历自己的研究和探索过程，通过必要的变式，尝试“磨研思辨”的全方位验证，把知识前后贯通起来，把问题的解决当作锤炼思维的提升过程，演绎出新版的“我要的是葫芦”的动人故事。
无惧“亡羊补牢”救赎。俗话说“亡羊补牢，未为晚矣！”相信，每一位教学工作者，都曾经面对过教学中的种种偏差。把繁难的知识教的通俗易懂，这是教学的水平，但不可否认的是，任何一位教师总会在自己“固有”思维的认识下，教学偏离了预期的航向，收到了适得其反的效果，或者说学生学而未懂，抑或懂而不善用，这并不可怕，教师需要做的是及时反思自己的教学行为，调整自身的教学策略，深入透彻地洞悉知识的生发点和联结点，同时跟进学生思维动向，了解他们的学习起点，切准学生的困惑、疑难，在学生的思维盲点、断层之处，相机架起贯通的桥梁，教与学就不会脱节，练与用也能趋于相承有度。智者无惧，“亡羊补牢”未尝不是一个教师的励志故事。
教师，需要用审慎的态度，去直面我们的孩子；教学，需要理性地走进课堂，紧随孩子左右，切准学生思维的韵律前行。
发表于《新教师》杂志2016年6期
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